Sigma-Algebra und borelschen Menge

Statistik ist auch ein wichtiger Bereich im Mathe Abitur. Sigma-Algebra und die borelsche Menge ist ziemlich komplex und für Abiturienten meist nicht unbedingt relevant, dennoch haben wir uns die Mühe gemacht den Unterschied dieser beiden Theorien zu skizzieren.

Der Unterschied

Der Grundgedanke ist bei Sigma-Algebra und der borelschen Menge der gleiche. Man will die Grundgesamtheit, also die Menge der möglichen Ereignisse mathematisch korrekt zu definieren, um im Anschluss Wahrscheinlichkeiten für diese zu bestimmen.

Sigma-Algebra

Omega ist eine endlich (z.B. {2,3,4,5} ) oder abzählbar unendliche (z.B. Natürliche Zahlen {1,2,3,…} ) Grundgesamtheit.
Alle möglichen Kombinationen aus der Grundgesamtheit, also die Potenzmenge, heißt dann sigma-Algebra, wenn sie zusätzlich ein paar Eigenschaften erfüllt (z.B. Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung.

Ein einfaches Beispiel wäre das Werfen eines Würfels. Die Grundgesamtheit ist Omega = {1,2,3,4,5,6}. Eine sigma-Algebra hiervon ist {leere Menge, Omega, {1,3,5}, {2,4,6} }. Diese sigma-Algebra würde man verwenden, um die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse gerade/ungerade Augenzahl anzugeben.

Borelsche Menge

Omega ist hier eine überabzählbare (z.B. reelle Zahlen) Grundgesamtheit. Da es sich hierbei um eine „zu große“ Menge handelt, um eine Potenzmenge zu bilden, benutzt man hierzu die borelsche Mengen. Man sagt, dass die borelsche Mengen alle Halbgeraden, d.h. halboffene Intervalle (-unendlich, a] enthält und wieder ein paar Eigenschaften erfüllt (z.B. abzählbarer Vereinigung und Schnittmengenbildung).
Ein Beispiel ist das Messen von irgendeiner quantitativen Eigenschaft. Die Messwerte sind hier reelle Zahlen und da man nicht im Voraus für jede reelle Zahl eine Wahrscheinlichkeit festlegen kann, sagt man, dass die Wahrscheinlichkeit für einzelne reelle Zahlen null ist und nimmt sich dann eine borelsche Menge (halboffene Intervalle) zur Hilfe und legt Wahrscheinlichkeiten für Teilintervalle von der Grundgesamtheit fest z.B. Alle Messwerte kleiner als 5 haben die Wahrscheinlichkeit 0,2, kleiner als 10 die Wahrscheinlichkeit 0,5 …